Topologie différentielle

La topologie différentielle est une branche des mathématiques qui utilise des méthodes de géométrie différentielle pour étudier les propriétés topologiques des variétés différentielles. Citons en exemple le calcul des groupes par les espaces de formes différentielles (cohomologie de De Rham), certains théorèmes de l'indice, le théorème de la boule chevelue.

Elle est née de l’étude de la théorie des équations différentielles. Elle a des applications en physique, notamment en théorie de la relativité. Ce peut aussi être abordée du point de vue dynamique.

Intrinsèque ou extrinsèque

Au commencement et jusqu'au milieu du dix-neuvième siècle, la géométrie différentielle était étudiée du point de vue de l'extérieur: les courbes, les surfaces étaient considérées comme des objets situés dans un espace euclidien d'une dimension supérieure (par exemple une surface dans un espace ambiant de dimensions trois). Les résultats les plus simples sont ceux obtenus en géométrie différentielle des courbes. Commençant par le travail de Riemann, le point de vue intrinsèque fut développé, dans l’impossibilité de parler de déplacement à l'extérieur de l'objet géométrique parce qu'il était considéré comme un tout. Le point de vue intrinsèque est plus flexible, par exemple il est utile en relativité où l'espace-temps ne peut naturellement pas être pris comme extrinsèque. Avec le point de vue intrinsèque il est plus facile de définir la courbure et d'autres structures telles que vues sur ce plan. Ces deux ( 2 ?) points de vue peuvent être réconciliés, en effet la géométrie extrinsèque peut être considérée comme une structure additionnelle à l'intrinsèque (voyez le théorème de Nash).