Analyse
1- L' Integrale de Lebesgue
1-1- Fonctions étagées
Questions :
comment peut-on definir l' intégral de Riemman ?
- Comment peut-on definir un cuboide ( borné) noté Q , encore appellé parallépipède rectangle (borné)
- Comment exprime-t-on le volume de dimension n d' un cuboide ?
- definir le cuboide de facon générale ( cuboide non-borné )
- Qu' est-ce que c' est qu' un hyper paln ?
- Definir la décomposition de l' ensemble R^n ( R puissance n , ensemble des nombres réels ) .
- Donnez la définition d' un semi-cuboide ..
- Comment se definit une fonction étagée dans l' ensemble R^n ?
- Exprimer l' integral d' une fonction étagée ayant une décomposition H et une valeur Cq dans le semi-cuboide Q .
- Enummerez les propriétés d' une fonction étagée .
- comment peut-on definir le maximum et le minimum de 2 fonctions f et g définies de R^n vers R
- Soit M un sous-ensemble de R^n . Definir la fonction caractéristique Xm de M .
- Soit S , inclut dans R^n , une réunion finie de plusieurs cuboide bornés et f une fonction étagée sur R^n. Definir l' integrale de la fonction characteristique Xs de S . -Estimer la valeur de cette intégrale , lorsque S est inclut dans un cuboide ( borné ) Q0 .
- Démontrez .
Questions :
1. definir l' ensemble nul ( au sens de Lebesgue ).
2. definir ensemble nul au sens de Jordan.
3. Une réunion quantifiable d' ensemble null est à son tour un ensemble nul .
Une réunion finie d' ensemble nul au sens de jordan est un ensemble nul au sens de jordan .
- Demontrez ces 2 affirmations.
4. Les graphes continus sont des ensembles nuls . Demontrez .
5. Caractérisez un ensemble nul . Demontrez .
6. Le premier théoreme de convergence des fonctions étagées est le suivant :
soit ( hv ) une suite monotone décroissante de fonctions étagées non négatives et lim I(hv) = 0 lorsque v tends vers l' infini . Alors lim hv (x ) = 0 presque partout , lorsque v tends vers l' infini .
Demontrez .
7. Quand dit- on qu' un ensemble M inclut dans R^n est un ensemble nul? . Demontrez .
8. énoncez le théoreme de continuité de l' intégrale de Daniell . Demontrez .
1-3 Fonctions intégrables
Questions
1. Le 2 eme théoreme de convergence des fonctions étagées est le suivant :
soit (hv) une suite monotone croissante de fonctions étagées . Si la suite des intégrales I(hv) possede une borne supérieure , alors la suite (hv) converge presque partout vers une fonction réelle . Demontrez .
2. Quand dit-on qu' une fonction f: R^n ---> R appartient a la classe L+ ?
3. C' est quoi une suite approximative de f ?
4. Comment peut-on definir l' integrale d' une fonction appartenant à la classe L+ ?
5. énumerez les propriétés de la Klasse L+ et de l' integrale .
6. Quand dit-on qu' une fonction est intégrable au sens de Lebesgue?
7. Comment définit-on l' intégral de dimension n de f ?
8.Énumérez les propriétés des fonctions intégrables .
9. Definissez l' intégrale pluridimensionelle de Riemann
10. énoncé le critère d' intégrabilité de Darboux
11. énoncez le critère de Riemann sur l' intégrabilité des fonction continues . demontrez .
12. énoncez le critère d' intégrabilité de Lebesgue
13. énoncez le critère suffisant de l' appartenance d' une fonction à la classe L+ .Demontrez.
14. Quelle est la conséquence de ce critère ?
15. Definir l' intégrale indéfinie de Riemann pour les fonction positives et appartenant à l' ensemble R^n.
16. Definir l' intégrale pluridimensionelle indéfinie de Riemann pour les fonctions quelconques
17. Quand-est-ce qu' une fonction est indéfiniment intégrable ?
18. quelle conséquence y découle ?
1-4- Théoremes des limites .
Questions
1. énoncé le théoreme de Beppo-Lévi . Demontrez .
2.énoncez le théoreme de Levi sur la convergence monotone d' une suite de fonctions. demontrez 3.Definissez l' intégrale des fonctions continues .
4.Quelle est la conséquence du théoreme de Levi?
5.Quand dit-on qu' une fonction à une borne supérieure( resp. une borne inférieure ) au sens de Lebesgue ?
- Quand dit-on qu' une fonction est bornée selon Lebesgue ?
- donner un exemple .
6. énoncé le théoreme de convergence de lebesgue ( théoreme de la convergence dominée ) .
Demontrez .
7.Définissez l' intégrabilité d' un cuboide .
8. énoncé le théorème de l' intégrale paramétrique .
9.Quelle est la conséquence ?
10.Soit Q dans R^n un cuboide et (fv) une suite de fonction Riemann intégrable sur Q , qui converge équitablement vers une fonction f . Comment peut-on dans ce cas permuter les notions de limite et d' intégrale ? demontrez .
11. énoncé le théoreme d' Arzelà sur la convergence dominée .
12. énoncé le théorème de Riemann sur la convergence monotone .
13. énoncé le lemme de Fatou .
14. definir l' intégralitégralité de l' ensemble L^1 .
1-5 Ensembles et fonctionctions mesurables
Questions
1. Quand dit-t-on qu' un ensemble borné est mésurable ? ( fonction caratéristique )
- quand dit-t-on qu' un ensemble quelconque est mésurable ?
2. comment se definit la mesure de Lebegue pour un ensemble M ?
3.Enumérer les propriétés d' un ensemble mésurable .
4.énoncez le théoreme sigma-additivité .
5. Quand dit-on qu' une fonction mésurable est intégrable ?
6.Quand dit-on qu' une fonction est mesurable ?
7.Toute fonction intégrable est mésurable . Demontrez .
8.definissez la mediane de 3 nombres a , b ,c tel que a < c .
9.Charakterisez les fonction mesurables.
10. Quel lien existe entre les fonctions et les ensembles mesurables .
11.Donner le critère d' intégration dans le sens de la mesure .
12.Comment se definit la mesure interieur de Jordan ?
13.Comment se definit la mesure exterieur de Jordan ?
14.Quand dit-on qu' un Ensemble est mesurable ( selon Jordan ) ? Comment s' appele la valeur de cette mesure ?
15. Énoncez le critère de cauchy pour la mesurabilité d' un ensemble selon Jordan . R continue , alors f est intégrable au sens de Riemann dans l' ensemble M . Demontrez .
16. Caractérisez un ensemble mesurable selon Jordan .
17. Donnez 2 conséquences .
18. énoncez le théoreme de la moyenne de l' intégrale d' une fonction définie sur le complementaire dans R d' un domaine paramétrisé P . demontrez . ...
1-6 - Le théorème de Fubini
Questions :
1. énoncez le théoréme de Fubini .
2. énoncez le théorème de Beppo Levi sur les fonctions mésurable .
3. Définissez l' intersection des ensemble nuls .
4. énoncez le théoréme de Fubini pour les Cuboides .
5. énoncez le théoreme de Fubini sur les fonction étagées .
6. énoncé le théorème de Fubini sur la classe L+ . Démontrez .
7. énoncé le théorème de tonelli .
8.énoncez le prinzip de Cavalieri .
9. Quelle est la conséquence ?
10. C' est quoi un domaine normalisé.Donnez-en un exemple .
11.Definir la formule de l' homothetie .
12. énoncez le théorème de fubini sur l' intégrale au sens de Riemann .
13. décrivez 2 conséquences .
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